Wiskunde en Muziek

Intervallen

Pythagoras

Voorblad Theorica Musice, Franchino Gafurio, 1492

Op één van zijn ochtendwandelingen liep Pythagoras langs een smederij en hoorde de verschillende klanken die hamers maakten als zij op het aambeeld sloegen. Pythagoras merkte (naar huidige natuurkundige inzichten niet helemaal correct) op dat de hoogte van de toon met het gewicht van de hamer te maken had, en wel in verhoudingen van gehele getallen.

Terug thuis spande hij vier identieke snaren, en hing onder aan deze snaren gewichten. De gewichten waren 6, 8, 9 en 12 eenheden. Hij ontdekte dat de snaar met het zwaarste gewicht precies een octaaf hoger klonk dan de snaar met het minste gewicht, een verhouding dus van 2:1. Een kwint hoorde hij bij de snaren met een gewicht van 8 en 12 eenheden (2:3). En tot slot hoorde hij een kwart bij de snaren met 9 en 12 eenheden (3:4).

Omdat het gaat om frequentie intervallen, maakt het eigenlijk niet uit bij welke frequentie je begint. Bij de voorbeelden hieronder kies ik als grondtoon de centrale C (C4 of c', met een frequentie van 261,626 Hz).

Pythagoras merkte dat je weer bijna terugkomt bij de grondtoon als je 12 kwinten omhoog gaat, en dan 7 octaven omlaag. Dit geeft:

( 3 2 ) 12 ( 1 2 ) 7 = 3 12 2 19 1

Omdat dit dus niet exact 1 is, zijn deze twee tonen niet hetzelfde. Het verschil tussen deze twee tonen noemen we de Pytahgoreïsche komma:

Zwevingen

De zweving die je hierboven hoort, wordt veroorzaakt doordat de twee frequenties erg dicht bij elkaar liggen. Hierdoor hoor je de sterkte van het geluid toe en afnemen. Hieronder kun je zien wat er gebeurt als de frequenties van twee tonen verschillen en tegelijk hoorbaar zijn. Met het vergrootglas kun je in en uitzoomen.

Dit applet kun je alleen gebruiken als Java is geïnstalleerd

Download GeoGebra bestand

Toonladder

De basis van ons toonsysteem zijn 7 gestapelde kwinten: C, G, D, A, E, B, Fis. Het probleem is de Fis op de zevende positie. Door nu de kwint voor de C te nemen, verkrijgen we wel de F: F, C, G, D, A, E, B. Met 7 kwinten en hun octaaftransposities hebben we nu dus een toonladder gedefinieerd.

Uiteindelijk heeft men voor de pianostemming gekozen voor de zogenaamde gelijkzwevende stemming. In deze stemming is het octaaf juist gestemd, en wordt het octaaf opgedeeld in 12 halve tonen. Deze keuze zorgt ervoor dat op een piano de kwint niet zuiver is. De kwint heeft op de piano dus net niet de verhouding 3:2 ten opzichte van de grondtoon. We noemen deze kwint gelijkzwevend. In de onderstaande voorbeelden hoor je het verschil tussen de reine (pythagoreïsche) en gelijkzwevende kwint:

Een reden dat men toch voor de gelijkzwevende stemming heeft gekozen is dat de terts (een erg belangrijk interval in hedendaagse muziek) in de pythagoreïsche stemming niet mooi klinkt, terwijl deze gelijkzwevend juist wel mooi is:

De verhoudingen van de tonen tot de grondtoon van de stemming zie je hieronder (klik op de naam van de stemming om de toonladder te horen).

toon pythagoreïsch gelijkzwevend Verschil
c 1 1 1 ( 2 12 ) 0 1 1 0
d 9 8 ( 2 12 ) 2 1
e 81 64 ( 2 12 ) 4 1
f 4 3 ( 2 12 ) 5 1
g 3 2 ( 2 12 ) 7 1
a 27 16 ( 2 12 ) 9 1
b 243 128 ( 2 12 ) 11 1
c 2 1 2 ( 2 12 ) 12 1 2 0

Als je beide toonladders na elkaar hoort, dan hoor je waarschijnlijk geen verschil. Beluister nu eens beide toonladders tegelijk (dit keer 3 seconden per toon): hoe groter het verschil, hoe meer zwevingen je hoort.